第二十一章 3分钟解题
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刷刷刷，很快陈建勇就把这一道压轴题写在了黑板上面。
1.已知函数f(x)=\frac{1+\ln(x+1)}{x}
(1)求函数的定义域；
(2)确定函数f(x)在定义域上的单调性，并证明你的结论；
(3)当……frac{k}{x+1}恒成立，求正整数k的最大值。
“你们都没有看错，这就是一道和函数相关的压轴题。”陈建勇淡淡的道。
“噢~又是函数题，好烦哦。”
“一看见它就怕。这种压轴题最烦了！”
“感觉，看起来好难啊！”
“这一道压轴题看起来比平时考试的压轴题难多了，是老师精心的准备给我们的吗？”
底下一群同学都是唉声叹气，摇头晃脑的。
“好了好了，你们别抱怨了，函数导数不等式、圆锥曲线什么的高考肯定会考到！所以你们再痛苦也要攻克它们ok？”陈建勇沉声道。不得不说，这一道压轴题的确是他精心准备给底下的这些学生的。这一道压轴题并不是他出的，而是他厚着脸皮叫他大学的数学老师帮忙出的。就算是他，解这一道题都花了半个小时。绝对是属于地狱级难度的压轴题！
接下来教室内，一下子就陷入了安静时刻。因为一个个同学都是抬头看着黑板上面的题目开始苦思冥想起来了。
肖俊也是看了一遍题目，然后开始绞尽脑汁开始思考起来。
很快，第一个小题也就是，求函数的定义域这个第一题他有了解题的思路。
本来像这种压轴题，往往第一小题考的是基础，很多人只要基础不错一般都能答出来。
肖俊本来就是重点班的学生，以前的底子还在，再加上前两天把高中的数学书全部看了一遍。基础底子就更加的扎实了。
但是第二题和第三题他看了之后完全没有思路！
这已经不是基础不基础的问题了，是和你的思路、平时做类似的题目之后的触类旁通、还有你的智商有关系了。
“解个毛，丢给群里的学霸吧。”肖俊压根就没有打算自己解题，直接用眼睛拍摄黑板上面的题目直接丢进学霸聊天群里面去了。
【学霸聊天群】
肖俊：@泷岛彗快点出来，帮我解一下这道题！
泷岛彗：好的群主~
“咦，这小子一艾特就出来，不错不错。”肖俊很是满意泷岛彗的表现！
时间一点一滴的过去。
肖俊也是看着时间，他倒是想看看这个无所不能的泷岛彗能在多少分钟可以把这一道题目给解出来。
“嘿嘿，一分钟过去了！”
“两分钟过去了！”
“三分钟了！”
就在此时，群里传来了消息的提示。
谢尔顿·李·库珀：@肖俊，群主，我已经解出来了！
答案：
解：
(1) f(x)的定义域是(-1，0)\cup (0，+\infty)；
(2) f'(x)=\frac{\frac{x}{x+1}-\ln(x+1)-1}{x^2}，
所以f(x)的正负与-\frac{1}{x+1}-\ln(x+1)有关，
当…………所以g(x)在(-1，0)上单调递增…………f(x)在(-1，0)上单调递减。
(3)方法一：参变量分离
即：…………令h(x)=(x+1)\frac{1+\ln(x+1)}{x}，
则h'(x)=\frac{1}{x^2}(x-1-\ln(x+1))，
设x=a时，h'(x)=0，即a-1-\ln(a+1)=0 (*式)
在a的两侧，h(x)先单调递减，后单调递增……由*式可以确定a\in (2，3)，
所以a+1\in (3，4)，
所以k_{\max}=3；
“卧槽，这货原来一直在窥屏？”肖俊很是意外谢尔顿·李·库珀这货竟然主动给自己解题。是为了报之前丢面子之仇吗？他要在他面前表现一下自己的解题速度比泷岛彗要快吗？
泷岛彗：群主，我已经解出来了……咦……谢尔顿·李·库珀你……
当泷岛彗看到群里面的那答案的时候，脸顿时就垮了下来。尼玛……专门和我作对？
谢尔顿·李·库珀：@泷岛彗，我刚才没事做就试着解了一下~
泷岛彗：你开心就好~
现在的谢尔顿·李·库珀心中那个得意啊，因为他解题的速度比泷岛彗快了5秒！哈哈哈哈……他觉得自己还是不比泷岛彗差的。
看着这个2B青年谢尔顿·李·库珀，他心中暗道：“果然是2B青年欢乐多啊~”
但是不得不说谢尔顿·李·库珀果然是天才学霸，这样的超难度的压轴题竟然三分钟就解出来了，简直无敌。恩，泷岛彗也不差，差了几秒时间等于大家半斤八两。
不说了，肖俊立马把这个答案写在作业本上面。
刷刷刷~
一分钟就写完了。
此时，距离陈建勇数学老师写完题目的时间只过去了五分钟。
只见肖俊拿上饭卡，拿上宿舍钥匙，拿起作业本站起来大步的走向讲台。
反观教室内的那些同学们，目前一个个都是绞尽脑汁的苦思冥想，要么就是抓着自己的头发看着黑板发呆，有的咬着笔头无从下笔。
就算是班上第一天才杨芊芊现在也是黛眉微皱的看着黑板，估计是在想着解题思路。
肖俊如此鹤立鸡群的走上讲台，引起了全班人的注意，包括数学老师陈建勇。
“他上去干嘛？”
“上厕所？”
“不会是解出来了吧？才过去五分钟啊！”
“肯定不是~肯定是要去大号，人有三急嘛。”
“我也觉得，不可能五分钟就解出来吧~”
“老师，我写完了。”肖俊说着就把作业本放在了老师的面前。
“噶？”
全班人一个个听了之后都是瞬间震惊了！
一个个的嘴巴都是张的老大，能塞入一个鸭蛋！
“五分钟就解出来了？”
“我的天，不是吧！”
“他是怎么做到的？”
“难道这就是学霸和学渣的区别吗？”
“脑回路是我的十倍？”
就连杨芊芊看到这里都是一脸的惊愕。因为她到现在为止，第二小题的问题还没有思路，第一小题的答案她已经写出来了。至于第三小题她还没有看呢。
可是对方就这样子解出来了？
“不不不，这么快速度解出来答案肯定不对！”杨芊芊心里疯狂的暗示自己。
不单单是杨芊芊，其它全部同学此刻都是这样子想的！
“这么快就解出来了？我看看！”就连陈建勇也是一阵错愕。虽然他知道肖俊这一次月考考了满分，证明了他是有实力的。但是这一道压轴题也不可能五分钟做出来吧？
（题目显示不正常，但是没办法，你们凑合着看吧，反正你们又不解题。）
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刷刷刷，很快陈建勇就把这一道压轴题写在了黑板上面。
1.已知函数f(x)=\frac{1+\ln(x+1)}{x}
(1)求函数的定义域；
(2)确定函数f(x)在定义域上的单调性，并证明你的结论；
(3)当……frac{k}{x+1}恒成立，求正整数k的最大值。
“你们都没有看错，这就是一道和函数相关的压轴题。”陈建勇淡淡的道。
“噢~又是函数题，好烦哦。”
“一看见它就怕。这种压轴题最烦了！”
“感觉，看起来好难啊！”
“这一道压轴题看起来比平时考试的压轴题难多了，是老师精心的准备给我们的吗？”
底下一群同学都是唉声叹气，摇头晃脑的。
“好了好了，你们别抱怨了，函数导数不等式、圆锥曲线什么的高考肯定会考到！所以你们再痛苦也要攻克它们ok？”陈建勇沉声道。不得不说，这一道压轴题的确是他精心准备给底下的这些学生的。这一道压轴题并不是他出的，而是他厚着脸皮叫他大学的数学老师帮忙出的。就算是他，解这一道题都花了半个小时。绝对是属于地狱级难度的压轴题！
接下来教室内，一下子就陷入了安静时刻。因为一个个同学都是抬头看着黑板上面的题目开始苦思冥想起来了。
肖俊也是看了一遍题目，然后开始绞尽脑汁开始思考起来。
很快，第一个小题也就是，求函数的定义域这个第一题他有了解题的思路。
本来像这种压轴题，往往第一小题考的是基础，很多人只要基础不错一般都能答出来。
肖俊本来就是重点班的学生，以前的底子还在，再加上前两天把高中的数学书全部看了一遍。基础底子就更加的扎实了。
但是第二题和第三题他看了之后完全没有思路！
这已经不是基础不基础的问题了，是和你的思路、平时做类似的题目之后的触类旁通、还有你的智商有关系了。
“解个毛，丢给群里的学霸吧。”肖俊压根就没有打算自己解题，直接用眼睛拍摄黑板上面的题目直接丢进学霸聊天群里面去了。
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肖俊：@泷岛彗快点出来，帮我解一下这道题！
泷岛彗：好的群主~
“咦，这小子一艾特就出来，不错不错。”肖俊很是满意泷岛彗的表现！
时间一点一滴的过去。
肖俊也是看着时间，他倒是想看看这个无所不能的泷岛彗能在多少分钟可以把这一道题目给解出来。
“嘿嘿，一分钟过去了！”
“两分钟过去了！”
“三分钟了！”
就在此时，群里传来了消息的提示。
谢尔顿·李·库珀：@肖俊，群主，我已经解出来了！
答案：
解：
(1) f(x)的定义域是(-1，0)\cup (0，+\infty)；
(2) f'(x)=\frac{\frac{x}{x+1}-\ln(x+1)-1}{x^2}，
所以f(x)的正负与-\frac{1}{x+1}-\ln(x+1)有关，
当…………所以g(x)在(-1，0)上单调递增…………f(x)在(-1，0)上单调递减。
(3)方法一：参变量分离
即：…………令h(x)=(x+1)\frac{1+\ln(x+1)}{x}，
则h'(x)=\frac{1}{x^2}(x-1-\ln(x+1))，
设x=a时，h'(x)=0，即a-1-\ln(a+1)=0 (*式)
在a的两侧，h(x)先单调递减，后单调递增……由*式可以确定a\in (2，3)，
所以a+1\in (3，4)，
所以k_{\max}=3；
“卧槽，这货原来一直在窥屏？”肖俊很是意外谢尔顿·李·库珀这货竟然主动给自己解题。是为了报之前丢面子之仇吗？他要在他面前表现一下自己的解题速度比泷岛彗要快吗？
泷岛彗：群主，我已经解出来了……咦……谢尔顿·李·库珀你……
当泷岛彗看到群里面的那答案的时候，脸顿时就垮了下来。尼玛……专门和我作对？
谢尔顿·李·库珀：@泷岛彗，我刚才没事做就试着解了一下~
泷岛彗：你开心就好~
现在的谢尔顿·李·库珀心中那个得意啊，因为他解题的速度比泷岛彗快了5秒！哈哈哈哈……他觉得自己还是不比泷岛彗差的。
看着这个2B青年谢尔顿·李·库珀，他心中暗道：“果然是2B青年欢乐多啊~”
但是不得不说谢尔顿·李·库珀果然是天才学霸，这样的超难度的压轴题竟然三分钟就解出来了，简直无敌。恩，泷岛彗也不差，差了几秒时间等于大家半斤八两。
不说了，肖俊立马把这个答案写在作业本上面。
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此时，距离陈建勇数学老师写完题目的时间只过去了五分钟。
只见肖俊拿上饭卡，拿上宿舍钥匙，拿起作业本站起来大步的走向讲台。
反观教室内的那些同学们，目前一个个都是绞尽脑汁的苦思冥想，要么就是抓着自己的头发看着黑板发呆，有的咬着笔头无从下笔。
就算是班上第一天才杨芊芊现在也是黛眉微皱的看着黑板，估计是在想着解题思路。
肖俊如此鹤立鸡群的走上讲台，引起了全班人的注意，包括数学老师陈建勇。
“他上去干嘛？”
“上厕所？”
“不会是解出来了吧？才过去五分钟啊！”
“肯定不是~肯定是要去大号，人有三急嘛。”
“我也觉得，不可能五分钟就解出来吧~”
“老师，我写完了。”肖俊说着就把作业本放在了老师的面前。
“噶？”
全班人一个个听了之后都是瞬间震惊了！
一个个的嘴巴都是张的老大，能塞入一个鸭蛋！
“五分钟就解出来了？”
“我的天，不是吧！”
“他是怎么做到的？”
“难道这就是学霸和学渣的区别吗？”
“脑回路是我的十倍？”
就连杨芊芊看到这里都是一脸的惊愕。因为她到现在为止，第二小题的问题还没有思路，第一小题的答案她已经写出来了。至于第三小题她还没有看呢。
可是对方就这样子解出来了？
“不不不，这么快速度解出来答案肯定不对！”杨芊芊心里疯狂的暗示自己。
不单单是杨芊芊，其它全部同学此刻都是这样子想的！
“这么快就解出来了？我看看！”就连陈建勇也是一阵错愕。虽然他知道肖俊这一次月考考了满分，证明了他是有实力的。但是这一道压轴题也不可能五分钟做出来吧？
（题目显示不正常，但是没办法，你们凑合着看吧，反正你们又不解题。）