第14章 那只乌龟
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三等分角这个问题被证明为尺规作图不能问题。
那么，是不是三等分角就不可能实现呢？
自然不是的，实际上，尺规作图不能问题，只不过是在只用没有刻度的直尺和圆规的前提下无法完成作图的问题。
而一旦跳出这个樊笼，不仅依靠没有刻度的直尺和圆规，尺规作图不能问题，能扩展出无数的解。
就拿三等分角这个问题来说，关于这道尺规作图题，有一个古老的小故事：
公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。
他凭借优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。
他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书75万卷。
托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。
亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。
圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。
别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。
国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。
一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”
侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。
小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。
国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：
怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？
为了确保从北门到卧室和北门到桥的距离一样远，聪明的工匠将现实问题转化成了一到几何问题。
经过几何证明，工匠们最终确定解决问题的关键是如何三等分一个角。
只要能够将那个关键的角三等分，就可以确定下桥和北门的位置，确保北门到卧室和北门到桥的距离一样。
工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。
正当大家称赞阿基米德了不起时，阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破的。”
阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记，等于是做了刻度，这在尺规作图法中则是不允许的。
这个故事提出了一个数学问题：如何尺规三等分任意已知角，这个问题连阿基米德都没有解答出来。
而后世上千年，无数数学家们同样证明了，这个问题非但阿基米德无法解答出来，他们所有人也都无法解答出来。
直到这道题被证明为了尺规作图不能问题。
所以......
尺规作图不能，并不意味着无法作图，只不过是只用没有刻度的直尺和圆规无法作图。
前世时，关于这个问题苏尘就见到过很多‘数学天才’沾沾自喜的给出过各种各样的答案。
有利用双曲线的，有利用其它工具的。
那些‘天才’们答出问题之后，还各种吹嘘炫耀，却浑然不知，自己连最基本的‘尺规作图’四个字的含义都没有弄懂。
但是.....
诚然，那些‘天才’们的解答违背了‘尺规作图’的基本核心。
却也不失为一种简单将角三等分的方法。
而现在，摆在苏尘面前的问题是。
他已经逻辑清晰的证明了三等分角是无法用尺规作图来完成的。
但面前这位大汉帝国的数学代表团领队却故意刁难，非要他用尺规作图将角三等分才算他答出了这个问题。
既然对方先不要脸了，苏尘觉得，自己也就没有必要和他讲规矩了。
那么......
对着那故意刁难自己的领队笑了笑，苏尘取了纸笔，拿直尺圆规开始在纸上作图。
不多时，一个利用直尺和圆规在纸上三等分的角被苏尘给滑了出来。
角确实被三等分了，也确实是苏尘利用直尺和圆规画出来的。
当然，其中有所取巧，他还借助了些隐形的外力。
简单来说，这个角是苏尘借用直尺和圆规作图成功三等分的。
但这三等分角，他却无法利用没有刻度的直尺和圆规来证明角确实是被三等分的。
而如果有量角器，或者借用其他的工具，又确实可以发现，这个角确实是三等分的。
所以，虽然无法用尺规证明角被三等分了，但这个角确实被苏尘只用尺规作图三等分了。
很绕口，却是事实。
成功做出了一个被三等分角的图形，苏尘把自己的‘答卷’放到大汉帝国数学代表团那领队的面前。
“你可以用任何方法却测量或者证明，我用没有刻度的直尺和圆规画出的这个角，确实是被三等分了。”
不需要去证明，甚至不需要去测量。
身为一个修为已经踏入四重天的修士，领队一眼就能判断出这角确实是三等分的。
只是......三等分是三等分了，但这和自己的题目要求根本就不符啊。
“那么，现在可以算我完成了这道题了吗？”
领队摇头，“并不能。”
“哦？”
苏尘反问，“这个角不是被三等分的？”
领队点头，“是。”
“我三等分这个角，利用了直尺和圆规之外的其他工具？”
领队摇头，“也没有。”
“所以......”苏尘看着那领队，问，“我的答案是符合题目要求的，且给出了正确的结果，为什么不算是正确答案？”
“因为......”
领队顿住。
就像苏尘明明证明了三等分角无法用尺规作图完成，他却非要让苏尘用尺规作图完成三等分角一样。
苏尘利用直尺和圆规三等分了一个角i，尽管他可以肯定他并没有遵守尺规作图的原理，但他又无法否认，苏尘确实只利用没有刻度的直尺和圆规将一个角三等分了。
你要非说他违规了，但证据呢？
你说他无法利用没有刻度的直尺和圆规证明角被三等分了。
但其它方法可以证明啊。
如果非要说必须用没有刻度的直尺和圆规证明角被三等分了。
他就非说角是三等分的，他也没办法用自己的逻辑证明角并没有被三等分啊。
毕竟，三等分角本身就无法用没有刻度的直尺和圆规来完成。
所以......
知道苏尘是故意的，领队却一时之间不知道该如何去反驳。
就在他左右为难，不知如何下台的时候。
苏尘看了他一眼，淡淡开口道，“看来，对我的答案，你是还有意义？”
说完，没等他回答，苏尘接着道，“那这样吧，我也不非坚持我的答案是正确的了，你也别一口否定我的答案是错误的了。
既然是数学交流会，咱们就以数学来争个对错。
这个问题是你们出的，既然问题有争议，不如我也出个问题，如果你或者你们在场任何一个人能答得出来，就算我是错的，怎么样？”
任何一个人能答出来就算你错了？
这么狂妄的吗？
经历了被苏尘一个人横扫，在场一众数学家们心里都憋着一口气呢。
此刻听到苏尘又放此狂言，一个个的看着苏尘时眼睛都有些红了。
那大汉帝国的领队看了苏尘一眼，总觉得他可能有什么阴谋。
想了想，并没有直接同意苏尘的提议。
“你如果出个压根就没有答案的问题，我不是一定会输？”
你也知道压根就没有答案的问题不能出啊？
心里冷笑，苏尘看着他道，“放心，我出的题都是我这里有答案的，而且难度绝对不会超过现有的数学知识界限。”
闻言，那领队看了他一眼，又和同伴们商量了一下。
最终点头同意道，“好。”
苏尘笑了笑，“我的问题很简单，和你这道题差不多，请用尺规作图，做出一个与已知圆面积相等的正方形。”
“这......”
那领队整个人懵了一下，见他的表情，苏尘笑了笑，“觉得这道题太难的话，我也可以换一个：求作一个正方体，使它的体积是已知正方体的两倍。”
领队：“......”
“也不行吗？”
有句古话叫以其人之道还治其人之身，苏尘觉得，很多时候恶人确实还需要恶人磨。
既然你故意刁难我，就别怪我也诚心祸害你。
“如果作不出来，那么是不是算我赢了？”
领队不语，实际上苏尘提出的这两个问题，在他们国家也不是没有人去尝试过。
但包括三等分角这个问题在内，这三个问题从来没有人单独利用尺规作图完成过解答。
直到今天苏尘证明了三等分角是尺规作图不能问题，领队就怀疑另外两个问题，也同样无法利用尺规作图来完成。
当苏尘提出这两个问题之后，看着他脸上的笑容，领队更加确定了这两个问题很可能和三等分角一样，根本无法利用尺规作图来完成。
沉默片刻，领队抬起头看向苏尘，“这两道题无法利用尺规作图来完成，你说过不会出没有答案的问题。”
“哦？”苏尘看着他，淡笑道，“证明呢？你怎么证明这两道题是没有答案啊。”
“那你怎么证明这两道题是有答案的？你能给出答案吗？”
“我能，”苏尘点头，提笔利用尺规画出了一个圆和一个正方形，又提笔画出两个正方体。
“要不要量一下，确定这正方形的面积是圆的二倍，或者这两个正方体之间的体积相差二倍？”
领队：“......”
你这是......犯规。
图形是不是正确答案，他自然一眼就能看出来。
但就和三等分角那个问题一样，他压根就不是单单利用简单的尺规作图来画出来的。
他借用了外力。
但.....同样和三等分角那问题一样，他无法去证明。
见他沉默，苏尘也有些烦了。
我证明了角无法用尺规作为三等分，你非要我给你画三等分角。
我画出来了，还又说答案有问题。
我给了你几次机会，到现在你还一副死活不服气的样子。
那......好啊！
“既然这样，那我再换个问题好了。”
说完，苏尘就看到了那领队眼中的警惕。
“放心，”轻轻一笑，苏尘安慰开口道，“这次不出尺规作图题了。”
说完，苏尘扫视全场，“一道简单的追及问题，在场所有人都算上，只要有人能给出答案，就算我输。”
说完，苏尘目光大有深意的看了那大汉帝国的领队一眼。
关于这领队，他多少也有些了解。
这了解，自然是来自唐小棠的科普。
那孩子像是话痨一样，刚刚坐在他身边，叽叽歪歪嘴里就没停过。
从长公主，到各国数学代表团，几乎每个人物他都给介绍了一下。
其中，就包括这个大汉帝国的领队，甚至这位领队，唐小棠还重点介绍了一下。
其原因，自然是这位领队的身份有些特殊。
除了是大汉帝国数学代表团的领队，除了是一位顶尖的数学家以外，这位还有一个比较特殊的身份。
他是大汉第一侯，不入朝、不掌权，却在大汉帝国有着至高地位的青衣侯的侄子。
相应的，在介绍这位领队的背景如何显赫的同时，唐小棠也顺道科普了一下那位青衣侯的事迹。
看了他一眼，没等这位领队有所表态，苏尘直接开口说出了自己的问题：
“大汉帝国青衣侯因曾逃脱八重天圣者的追杀而被称为世界上最快的男人。
众所周知，青衣侯酷爱养龟，有一只喜欢离家出走的宠物龙龟。
一日清晨龙龟闲极无聊离家出走，直到中午时才被侯府的下人发现。
当时龙龟距离青衣侯府已跑出一段距离，青衣侯从侯府出发去抓龟。”
……
听到这里，围观的数学家们已经开始了心中的计算。
青衣侯和龙龟之间的距离，青衣侯和龙龟各自的速度，追赶的时间，四者之中只要给出任意三个条件，就能计算出第四个条件。
所以，听着苏尘出的题，数学家们认真计算的同时又都感到很懵逼。
这就是你要出的题？
这题......一点都不难啊，他们在场的都能做啊！
正这般想着，他们听到的问题却并没有按着他们以为的那样去发展。
……
“已知：当青衣侯追到龙龟的初始地点时，龙龟已经又逃走了一段距离。
青衣侯继续追，一段时间后又追到龙龟之前所在地，龙龟又逃走了一小段距离。
如此往复，青衣侯每追上先前的一段距离，龙龟总能逃出新的一小段距离。
假如空间与时间可以被无限分割，青衣侯能否抓住他的龙龟？
为什么？”
“......”
三等分角这个问题被证明为尺规作图不能问题。
那么，是不是三等分角就不可能实现呢？
自然不是的，实际上，尺规作图不能问题，只不过是在只用没有刻度的直尺和圆规的前提下无法完成作图的问题。
而一旦跳出这个樊笼，不仅依靠没有刻度的直尺和圆规，尺规作图不能问题，能扩展出无数的解。
就拿三等分角这个问题来说，关于这道尺规作图题，有一个古老的小故事：
公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。
他凭借优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。
他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书75万卷。
托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。
亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。
圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。
别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。
国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。
一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”
侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。
小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。
国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：
怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？
为了确保从北门到卧室和北门到桥的距离一样远，聪明的工匠将现实问题转化成了一到几何问题。
经过几何证明，工匠们最终确定解决问题的关键是如何三等分一个角。
只要能够将那个关键的角三等分，就可以确定下桥和北门的位置，确保北门到卧室和北门到桥的距离一样。
工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。
正当大家称赞阿基米德了不起时，阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破的。”
阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记，等于是做了刻度，这在尺规作图法中则是不允许的。
这个故事提出了一个数学问题：如何尺规三等分任意已知角，这个问题连阿基米德都没有解答出来。
而后世上千年，无数数学家们同样证明了，这个问题非但阿基米德无法解答出来，他们所有人也都无法解答出来。
直到这道题被证明为了尺规作图不能问题。
所以......
尺规作图不能，并不意味着无法作图，只不过是只用没有刻度的直尺和圆规无法作图。
前世时，关于这个问题苏尘就见到过很多‘数学天才’沾沾自喜的给出过各种各样的答案。
有利用双曲线的，有利用其它工具的。
那些‘天才’们答出问题之后，还各种吹嘘炫耀，却浑然不知，自己连最基本的‘尺规作图’四个字的含义都没有弄懂。
但是.....
诚然，那些‘天才’们的解答违背了‘尺规作图’的基本核心。
却也不失为一种简单将角三等分的方法。
而现在，摆在苏尘面前的问题是。
他已经逻辑清晰的证明了三等分角是无法用尺规作图来完成的。
但面前这位大汉帝国的数学代表团领队却故意刁难，非要他用尺规作图将角三等分才算他答出了这个问题。
既然对方先不要脸了，苏尘觉得，自己也就没有必要和他讲规矩了。
那么......
对着那故意刁难自己的领队笑了笑，苏尘取了纸笔，拿直尺圆规开始在纸上作图。
不多时，一个利用直尺和圆规在纸上三等分的角被苏尘给滑了出来。
角确实被三等分了，也确实是苏尘利用直尺和圆规画出来的。
当然，其中有所取巧，他还借助了些隐形的外力。
简单来说，这个角是苏尘借用直尺和圆规作图成功三等分的。
但这三等分角，他却无法利用没有刻度的直尺和圆规来证明角确实是被三等分的。
而如果有量角器，或者借用其他的工具，又确实可以发现，这个角确实是三等分的。
所以，虽然无法用尺规证明角被三等分了，但这个角确实被苏尘只用尺规作图三等分了。
很绕口，却是事实。
成功做出了一个被三等分角的图形，苏尘把自己的‘答卷’放到大汉帝国数学代表团那领队的面前。
“你可以用任何方法却测量或者证明，我用没有刻度的直尺和圆规画出的这个角，确实是被三等分了。”
不需要去证明，甚至不需要去测量。
身为一个修为已经踏入四重天的修士，领队一眼就能判断出这角确实是三等分的。
只是......三等分是三等分了，但这和自己的题目要求根本就不符啊。
“那么，现在可以算我完成了这道题了吗？”
领队摇头，“并不能。”
“哦？”
苏尘反问，“这个角不是被三等分的？”
领队点头，“是。”
“我三等分这个角，利用了直尺和圆规之外的其他工具？”
领队摇头，“也没有。”
“所以......”苏尘看着那领队，问，“我的答案是符合题目要求的，且给出了正确的结果，为什么不算是正确答案？”
“因为......”
领队顿住。
就像苏尘明明证明了三等分角无法用尺规作图完成，他却非要让苏尘用尺规作图完成三等分角一样。
苏尘利用直尺和圆规三等分了一个角i，尽管他可以肯定他并没有遵守尺规作图的原理，但他又无法否认，苏尘确实只利用没有刻度的直尺和圆规将一个角三等分了。
你要非说他违规了，但证据呢？
你说他无法利用没有刻度的直尺和圆规证明角被三等分了。
但其它方法可以证明啊。
如果非要说必须用没有刻度的直尺和圆规证明角被三等分了。
他就非说角是三等分的，他也没办法用自己的逻辑证明角并没有被三等分啊。
毕竟，三等分角本身就无法用没有刻度的直尺和圆规来完成。
所以......
知道苏尘是故意的，领队却一时之间不知道该如何去反驳。
就在他左右为难，不知如何下台的时候。
苏尘看了他一眼，淡淡开口道，“看来，对我的答案，你是还有意义？”
说完，没等他回答，苏尘接着道，“那这样吧，我也不非坚持我的答案是正确的了，你也别一口否定我的答案是错误的了。
既然是数学交流会，咱们就以数学来争个对错。
这个问题是你们出的，既然问题有争议，不如我也出个问题，如果你或者你们在场任何一个人能答得出来，就算我是错的，怎么样？”
任何一个人能答出来就算你错了？
这么狂妄的吗？
经历了被苏尘一个人横扫，在场一众数学家们心里都憋着一口气呢。
此刻听到苏尘又放此狂言，一个个的看着苏尘时眼睛都有些红了。
那大汉帝国的领队看了苏尘一眼，总觉得他可能有什么阴谋。
想了想，并没有直接同意苏尘的提议。
“你如果出个压根就没有答案的问题，我不是一定会输？”
你也知道压根就没有答案的问题不能出啊？
心里冷笑，苏尘看着他道，“放心，我出的题都是我这里有答案的，而且难度绝对不会超过现有的数学知识界限。”
闻言，那领队看了他一眼，又和同伴们商量了一下。
最终点头同意道，“好。”
苏尘笑了笑，“我的问题很简单，和你这道题差不多，请用尺规作图，做出一个与已知圆面积相等的正方形。”
“这......”
那领队整个人懵了一下，见他的表情，苏尘笑了笑，“觉得这道题太难的话，我也可以换一个：求作一个正方体，使它的体积是已知正方体的两倍。”
领队：“......”
“也不行吗？”
有句古话叫以其人之道还治其人之身，苏尘觉得，很多时候恶人确实还需要恶人磨。
既然你故意刁难我，就别怪我也诚心祸害你。
“如果作不出来，那么是不是算我赢了？”
领队不语，实际上苏尘提出的这两个问题，在他们国家也不是没有人去尝试过。
但包括三等分角这个问题在内，这三个问题从来没有人单独利用尺规作图完成过解答。
直到今天苏尘证明了三等分角是尺规作图不能问题，领队就怀疑另外两个问题，也同样无法利用尺规作图来完成。
当苏尘提出这两个问题之后，看着他脸上的笑容，领队更加确定了这两个问题很可能和三等分角一样，根本无法利用尺规作图来完成。
沉默片刻，领队抬起头看向苏尘，“这两道题无法利用尺规作图来完成，你说过不会出没有答案的问题。”
“哦？”苏尘看着他，淡笑道，“证明呢？你怎么证明这两道题是没有答案啊。”
“那你怎么证明这两道题是有答案的？你能给出答案吗？”
“我能，”苏尘点头，提笔利用尺规画出了一个圆和一个正方形，又提笔画出两个正方体。
“要不要量一下，确定这正方形的面积是圆的二倍，或者这两个正方体之间的体积相差二倍？”
领队：“......”
你这是......犯规。
图形是不是正确答案，他自然一眼就能看出来。
但就和三等分角那个问题一样，他压根就不是单单利用简单的尺规作图来画出来的。
他借用了外力。
但.....同样和三等分角那问题一样，他无法去证明。
见他沉默，苏尘也有些烦了。
我证明了角无法用尺规作为三等分，你非要我给你画三等分角。
我画出来了，还又说答案有问题。
我给了你几次机会，到现在你还一副死活不服气的样子。
那......好啊！
“既然这样，那我再换个问题好了。”
说完，苏尘就看到了那领队眼中的警惕。
“放心，”轻轻一笑，苏尘安慰开口道，“这次不出尺规作图题了。”
说完，苏尘扫视全场，“一道简单的追及问题，在场所有人都算上，只要有人能给出答案，就算我输。”
说完，苏尘目光大有深意的看了那大汉帝国的领队一眼。
关于这领队，他多少也有些了解。
这了解，自然是来自唐小棠的科普。
那孩子像是话痨一样，刚刚坐在他身边，叽叽歪歪嘴里就没停过。
从长公主，到各国数学代表团，几乎每个人物他都给介绍了一下。
其中，就包括这个大汉帝国的领队，甚至这位领队，唐小棠还重点介绍了一下。
其原因，自然是这位领队的身份有些特殊。
除了是大汉帝国数学代表团的领队，除了是一位顶尖的数学家以外，这位还有一个比较特殊的身份。
他是大汉第一侯，不入朝、不掌权，却在大汉帝国有着至高地位的青衣侯的侄子。
相应的，在介绍这位领队的背景如何显赫的同时，唐小棠也顺道科普了一下那位青衣侯的事迹。
看了他一眼，没等这位领队有所表态，苏尘直接开口说出了自己的问题：
“大汉帝国青衣侯因曾逃脱八重天圣者的追杀而被称为世界上最快的男人。
众所周知，青衣侯酷爱养龟，有一只喜欢离家出走的宠物龙龟。
一日清晨龙龟闲极无聊离家出走，直到中午时才被侯府的下人发现。
当时龙龟距离青衣侯府已跑出一段距离，青衣侯从侯府出发去抓龟。”
……
听到这里，围观的数学家们已经开始了心中的计算。
青衣侯和龙龟之间的距离，青衣侯和龙龟各自的速度，追赶的时间，四者之中只要给出任意三个条件，就能计算出第四个条件。
所以，听着苏尘出的题，数学家们认真计算的同时又都感到很懵逼。
这就是你要出的题？
这题......一点都不难啊，他们在场的都能做啊！
正这般想着，他们听到的问题却并没有按着他们以为的那样去发展。
……
“已知：当青衣侯追到龙龟的初始地点时，龙龟已经又逃走了一段距离。
青衣侯继续追，一段时间后又追到龙龟之前所在地，龙龟又逃走了一小段距离。
如此往复，青衣侯每追上先前的一段距离，龙龟总能逃出新的一小段距离。
假如空间与时间可以被无限分割，青衣侯能否抓住他的龙龟？
为什么？”
“......”